1. O trocador de calor

Um trocador de calor é um equipamento que transfere energia térmica de um fluido para outro sem misturá-los. No trocador casco e tubos E-101, estudado nesta página, o fluido de processo (água ou uma solução) escoa por dentro dos tubos, enquanto o vapor de aquecimento ocupa o casco, em volta dos tubos, como mostra a Figura 1. O vapor encontra as paredes dos tubos, que estão mais frias, condensa e libera o calor latente de condensação, uma grande quantidade de energia por quilograma de vapor, liberada praticamente à temperatura constante. Por isso o vapor é um meio de aquecimento muito usado: a potência térmica entregue ao fluido depende da vazão de vapor, e essa vazão é ajustada por uma válvula de controle.

Três relações descrevem a troca de energia. A primeira informa quanta potência o fluido de processo recebe para sair mais quente do que entrou:

Nessa equação, $Q$ é a potência térmica recebida pelo fluido, em kW; $F$ é a vazão mássica do fluido de processo, em kg/s; $t_e$ e $T$ são as temperaturas de entrada e de saída do fluido, em °C; e $c_p$ é o calor específico a pressão constante do fluido, isto é, a quantidade de energia necessária para elevar em 1 °C a temperatura de 1 kg dele. Para a água, $c_p$ vale cerca de 4,18 kJ/(kg·K). O produto $F\,c_p$ é a capacidade térmica da corrente, em kW/K, e indica quanta potência é preciso fornecer para aquecer toda a vazão em 1 °C.

A segunda relação informa quanta potência o vapor cede ao condensar:

em que $\dot{m}_v$ é a vazão mássica de vapor, em kg/s, e $h_{fg}$ é o calor latente de condensação, em kJ/kg (cerca de 2160 kJ/kg nas pressões típicas de uso). A terceira relação descreve a troca de calor através da parede dos tubos:

onde $U$ é o coeficiente global de troca térmica, em kW/(m²·K), $A$ é a área de troca, em m², e $\Delta T_{lm}$ é a média logarítmica das diferenças de temperatura entre os dois fluidos nas extremidades do trocador. O coeficiente $U$ diminui com a incrustação, que é o depósito de sujeira ou de sais nas paredes e reduz a capacidade de troca.

Controlar a temperatura de saída é importante porque ela define a qualidade ou a segurança do produto. Em alimentos, a temperatura determina a segurança sanitária; em óleos, a viscosidade e a facilidade de bombeamento; em reatores químicos, a velocidade da reação. Variações de poucos graus podem comprometer o produto ou desperdiçar energia.

2. Variáveis do processo

Entendido o equipamento, é preciso nomear as grandezas que importam para o controle. A variável que se deseja manter em um valor desejado é a variável controlada, aqui a temperatura de saída do fluido, medida pelo transmissor TT-102. O valor desejado para essa variável é o setpoint, abreviado SP (do inglês set point), e o valor efetivamente medido é a variável de processo, abreviada PV (do inglês process variable). A variável que o controlador pode alterar para influenciar a variável controlada é a variável manipulada, aqui a abertura da válvula de vapor TV-101, que define a potência térmica entregue ao fluido.

Em torno disso atuam as perturbações, que são as variações que alteram a temperatura de saída sem que o controlador as tenha decidido. Duas delas são medidas por instrumentos: a vazão de processo, lida pelo FT-101, e a temperatura de entrada do fluido, lida pelo TT-101. Outras não são medidas, como a incrustação nos tubos, a variação da pressão do vapor e as perdas térmicas para o ambiente. Essa diferença entre perturbação medida e não medida será decisiva mais adiante, porque o controlador feedforward só consegue compensar as perturbações medidas, enquanto o feedback reage a qualquer perturbação que chegue a alterar a saída.

Também é útil o conceito de estado estacionário, também chamado de regime permanente: a condição em que todas as variáveis do processo permanecem constantes no tempo. Quando uma perturbação ocorre, o processo sai desse estado, passa por um período transitório e, se o controle for adequado, volta a um estado estacionário.

3. Instrumentação e a norma ISA 5.1

Na norma ISA 5.1, cada instrumento recebe um identificador (tag) formado por letras e um número. A primeira letra indica a variável medida ou controlada (T para temperatura, F para vazão, H para acionamento manual). As letras seguintes indicam a função do instrumento (T para transmissor, I para indicador, C para controlador, Y para bloco de cálculo ou relé, V para válvula). O número identifica a malha de controle. Assim, TIC-101 é um controlador indicador de temperatura da malha 101.

Os instrumentos deste processo são os seguintes. O FT-101 é o transmissor de vazão, normalmente uma placa de orifício, e informa a vazão F. O TT-101 e o TT-102 são transmissores de temperatura, instalados na entrada e na saída do trocador. O TY-101 é um bloco de cálculo que forma a diferença entre o SP e a temperatura de entrada. O FY-101 multiplica essa diferença pela vazão e gera a demanda de energia do feedforward. O TIC-101 é o controlador PID de temperatura, responsável pelo feedback. O FY-102 soma as ações do feedforward e do feedback e gera o comando final, que a válvula de controle TV-101 executa. Por fim, o HIC-101 é a estação manual usada na estratégia de malha aberta.

As linhas tracejadas do diagrama P&ID representam sinais de instrumentação. Siga uma delas no simulador: a temperatura sai do TT-102, chega ao TIC-101, que calcula a correção, a qual é somada no FY-102 à demanda de energia e segue para a TV-101.

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4. Modelo matemático do trocador

Com a instrumentação identificada, é possível descrever o comportamento do trocador por equações. O fluido dentro dos tubos é tratado como um volume bem misturado, de massa $M$ (em kg) e temperatura $T$ uniforme. Aplicando o balanço de energia a esse volume, obtém-se a equação diferencial principal do modelo:

O termo à esquerda é o acúmulo de energia no fluido. Os termos à direita são, nessa ordem, a energia que entra e sai com a corrente, o calor $Q$ recebido do vapor e as perdas térmicas para o ambiente. Nessas perdas, $T_{amb}$ é a temperatura ambiente e $UA$ é o produto do coeficiente de perdas pela área exposta, em kW/K.

O calor $Q$ não responde instantaneamente à válvula. O atuador tem um atraso, e a parede metálica armazena energia antes de transferi-la ao fluido. Esses dois efeitos são descritos por equações de primeira ordem:

Aqui, $m$ é o comando enviado à válvula pelo controlador, em %; $v$ é a abertura real da válvula, em %; $\tau_v$ é a constante de tempo do atuador, isto é, o tempo que a válvula leva para completar cerca de 63% de uma variação de comando; $\tau_w$ é a constante de tempo de aquecimento da parede; $Q_{max}$ é a potência máxima transferida com a válvula totalmente aberta e o trocador limpo, em kW; e $f$ é a fração da capacidade de troca perdida por incrustação (no simulador, expressa em %).

Por fim, a temperatura medida pelo TT-102 não é a temperatura do fluido no instante atual. O fluido leva um tempo para percorrer a tubulação entre o trocador e o sensor, e o próprio sensor responde com atraso. Esse efeito é modelado por um tempo morto $\alpha$ (atraso de transporte puro, em s), seguido de um filtro de primeira ordem de constante de tempo $\tau_s$, e a medição ainda recebe ruído, que representa as flutuações aleatórias do sensor e da eletrônica.

No estado estacionário, todas as derivadas são nulas. Das equações (5) e (6) resultam $v = m$ e $Q = Q_{max}(1-f)\,m/100$, e a equação (4) fornece a temperatura de saída:

Para analisar o controle, convém linearizar o modelo em torno de um ponto de operação, isto é, estudar pequenas variações em torno do estado estacionário. Definindo $a = F\,c_p + UA$ (em kW/K), obtêm-se três grandezas:

A constante de tempo $\tau$ (em s) é o tempo característico do fluido; $K$ é o ganho da válvula, em °C por % de abertura, e informa quanto a temperatura de saída varia, em estado estacionário, para cada 1% de variação da válvula; e $K_2$ é o ganho da perturbação, adimensional, e informa quanto a saída varia para cada 1 °C de variação em $t_e$. Com isso, as funções de transferência do processo são:

Uma função de transferência $G(s)$ é a relação entre a transformada de Laplace da saída e a da entrada de um sistema linear, para variações em torno do ponto de operação e condições iniciais nulas, em que $s$ é a variável complexa de Laplace. O fator $e^{-\alpha s}$ representa um atraso puro de $\alpha$ segundos. Neste texto, $G_p(s)$ descreve como a variável manipulada (o comando da válvula) afeta a temperatura de saída, e $G_2(s)$ descreve como uma perturbação (aqui, a temperatura de entrada) afeta a mesma saída. Repare que a perturbação entra diretamente no fluido, e por isso $G_2(s)$ tem menos atrasos que $G_p(s)$, que passa pelo atuador e pela parede.

Observe que a vazão $F$ aparece em $a$. Se $F$ aumenta, $a$ cresce, e o ganho $K$ e a constante de tempo $\tau$ diminuem. Isso torna a planta não linear: uma sintonia feita para uma vazão pode não ser adequada para outra. A seção "Equações da simulação", na aba do simulador, mostra esses valores atualizados em tempo real.

5. Fundamentos de controle

Controlar é fazer a variável de processo seguir o SP apesar das perturbações. A diferença entre os dois é o erro de controle, definido por:

Para saber se o controle foi bem executado, usam-se critérios objetivos. O primeiro é o erro em estado estacionário, a diferença que permanece entre o SP e a variável de processo depois que o transitório terminou. O segundo é o sobressinal, o quanto a variável ultrapassa o SP, em porcentagem da variação pedida. Há também o tempo de acomodação, necessário para que a variável entre e permaneça numa faixa em torno do SP (por exemplo, ±2%), e a rejeição de perturbação, que combina o desvio máximo causado pela perturbação e a rapidez do retorno ao SP. Importa ainda o esforço do atuador: um comando muito agitado desgasta a válvula.

Um critério que resume o desempenho global é o IAE (do inglês integral of absolute error, integral do erro absoluto). Ele é a área sob a curva do módulo do erro, calculada de 0 até o instante final de observação $t_f$:

A unidade do IAE é °C·s. Quanto menor o IAE, menor o erro acumulado e melhor o desempenho da malha. Como o erro é tomado em módulo, erros positivos e negativos não se cancelam. Por exemplo, um erro constante de 2 °C durante 30 s produz IAE = 60 °C·s, valor igual ao de um erro de 1 °C durante 60 s. O simulador calcula o IAE desde o último evento, de modo que se possam comparar estratégias com a mesma perturbação.

Além do desempenho, o controle precisa ser estável: a malha fechada não pode divergir nem oscilar sem amortecimento. O tempo morto e as constantes de tempo em série limitam o ganho que o controlador pode usar sem comprometer a estabilidade.

As próximas seções apresentam as estratégias de controle, da mais simples à mais completa: malha aberta, feedback, feedforward e a combinação dos dois.

6. Malha aberta

Em malha aberta, o comando, também chamado de ação de controle, é definido sem considerar o valor da saída. No trocador, o operador escolhe uma abertura fixa para a válvula, pela estação manual HIC-101, a partir do cálculo do estado estacionário, e essa abertura permanece até ser alterada manualmente. Pelas equações (4) a (6), com $dT/dt = 0$, a abertura necessária para manter a temperatura de saída igual ao SP é:

Se as condições consideradas no cálculo se mantêm, a temperatura de saída permanece no SP. Quando ocorre uma perturbação, ou quando o modelo usado no cálculo tem erro, a saída se afasta do SP e o sistema não tem como perceber nem corrigir esse desvio, pois a medição da saída não é usada.

A malha aberta ainda é usada na partida de equipamentos, na operação manual durante a falha de um sensor e nos ensaios para identificar o modelo do processo, como o ensaio de resposta ao degrau que será visto na seção 8.

7. Feedback e controle PID

Para corrigir o que a malha aberta não corrige, fecha-se a malha com a medição da saída. No controle por realimentação (feedback), a temperatura de saída é medida pelo TT-102 e comparada ao SP, e o erro da equação (11) é entregue ao controlador, que calcula o comando da válvula. O controlador mais usado na indústria é o PID, cuja forma ideal é:

Nesta equação, $K_c$ é o ganho proporcional (em % de válvula por °C de erro), $T_I$ é o tempo integral (em s) e $T_D$ é o tempo derivativo (em s). A variável $\tau$ dentro da integral é apenas uma variável auxiliar de integração. Os três termos têm papéis distintos. O termo proporcional reage ao erro do instante atual: quanto maior o $K_c$, mais rápida a resposta, porém menor a margem de estabilidade. O termo integral acumula o erro ao longo do tempo e, por isso, só deixa de crescer quando o erro é nulo; ele elimina o erro em estado estacionário, ao custo de maior sobressinal quando $T_I$ é pequeno. O termo derivativo reage à taxa de variação do erro, antecipando a tendência e amortecendo a resposta, mas amplifica o ruído de medição.

Conforme o processo, usam-se variantes do PID. O controlador P usa apenas o termo proporcional e é simples, mas deixa erro em estado estacionário: para um processo de ganho estático $K$ e um degrau de SP de tamanho $\Delta SP$, o erro final vale $\Delta SP/(1+K_c K)$. O controlador PI acrescenta a ação integral, elimina o erro em estado estacionário e é o mais usado em malhas de temperatura. O controlador PD acrescenta a ação derivativa ao P, responde mais rápido e com mais amortecimento, mas também deixa erro em estado estacionário e por isso é raro. O controlador PID reúne os três termos e é indicado quando o processo tem atrasos grandes e o ruído de medição é baixo. A aba "Como funciona o PID" permite visualizar cada termo em gráficos interativos.

Na prática, três cuidados tornam o PID aplicável. Primeiro, a derivada é calculada sobre a medição, $-dPV/dt$, e não sobre o erro, para evitar uma variação brusca do comando (derivative kick) quando o SP muda em degrau, e é filtrada por uma constante de tempo $T_f$ para reduzir o efeito do ruído. Segundo, a saída é limitada entre 0 e 100%. Terceiro, quando a válvula satura, o termo integral é congelado, técnica chamada de anti-windup; sem ela, a integral continuaria acumulando erro enquanto a válvula não pode responder (o windup) e causaria um grande sobressinal na recuperação.

Uma regra prática de sintonia é a SIMC. Ela parte de uma aproximação do processo por um modelo de primeira ordem com atraso, de ganho $K$, constante de tempo $\tau$ e tempo morto $\alpha$, e propõe, para um controlador PI com resposta moderada:

Aqui, $\tau_c$ é a constante de tempo desejada para a malha fechada; a escolha $\tau_c = \alpha$ dá uma resposta moderada, e valores maiores tornam a malha mais lenta e mais robusta. Com os valores do E-101 obtidos na seção 8 ($K = 1{,}01$ °C/%, $\tau = 27$ s e $\alpha = 12{,}5$ s), resulta $K_c = 27/(1{,}01 \times 25) \approx 1{,}07$ e $T_I = \min(27;\,100) = 27$ s.

A limitação do feedback é que ele só age depois que o erro aparece. Em um processo com tempo morto e constantes de tempo grandes, uma perturbação já pode ter causado um desvio considerável antes que o controlador perceba e comece a corrigir.

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8. Feedforward (alimentação avante)

Como o feedback só age depois que o erro aparece, surge a ideia de agir antes, quando a perturbação pode ser medida. No controle antecipatório, chamado de feedforward ou alimentação avante, a perturbação $t_e(t)$ é medida e usada para calcular, antes que ela afete a saída, a correção que deve ser aplicada à variável manipulada $m(t)$. O controlador feedforward tem função de transferência $F(s)$ e contém um modelo do sistema: uma função de transferência que prevê como a saída $y(t)$ será afetada pela perturbação e como ela responde à variável manipulada.

A Figura 2 mostra a estrutura. O sinal de referência $R(s)$ (o SP) e a medição da saída, que passa pelo bloco $H(s)$ do sensor e do transmissor, entram no primeiro somador, que calcula o erro. O controlador de realimentação $G_c(s)$ gera a parcela $M_c(s)$ do comando. A perturbação medida $T_e(s)$ segue por dois caminhos: um leva ao bloco $F(s)$, que gera a parcela $M_F(s)$ do comando, e o outro representa o efeito físico da perturbação sobre a saída, descrito por $G_2(s)$. O segundo somador reúne as duas parcelas no comando $M(s) = M_c(s) + M_F(s)$, que atravessa o processo $G_p(s)$. O terceiro somador mostra que a saída é a soma do efeito do comando com o efeito da perturbação.

A condição ideal é que a perturbação não altere a saída. Suponha que o comando seja dado somente pelo feedforward, $M(s) = F(s)\,T_e(s)$. Pelo diagrama, a saída é a soma do efeito do comando e do efeito direto da perturbação, $Y(s) = G_p(s)\,M(s) + G_2(s)\,T_e(s)$. Substituindo, resulta $Y(s) = [G_p(s)\,F(s) + G_2(s)]\,T_e(s)$, e a saída fica insensível a $t_e$ se o termo entre colchetes for nulo:

Esse resultado mostra por que o modelo é necessário: $G_2(s)$ descreve como a perturbação afeta a saída e $G_p(s)$ descreve como a variável manipulada afeta a saída. O compensador usa o quociente das duas funções de transferência para calcular qual comando cancela o efeito da perturbação. O sinal negativo indica que o comando age em sentido oposto ao efeito da perturbação. Observe ainda que $F(s)$ usa apenas a medição de $t_e$ e não usa a saída. Por isso, como se vê no diagrama, o feedforward não fecha nenhuma malha e não pode, por si só, causar instabilidade.

Passo 1: o modelo estático pelo balanço de energia

A primeira forma de obter o modelo é pela física do processo. Em estado estacionário, o calor necessário para manter a saída no SP é dado pela equação (13), e a parte que depende das perturbações medidas, $t_e$ e $F$, é o calor $F\,c_p\,(SP - t_e)$. Dividindo-o pela capacidade da válvula, obtém-se a abertura do feedforward estático:

Na instrumentação do E-101, o TY-101 calcula a diferença $SP - t_e$ e o FY-101 a multiplica pela vazão e escala o resultado em porcentagem de válvula. As perdas e a incrustação ficam fora desse modelo, e o feedback fica responsável por elas. Esse modelo, construído apenas com equações físicas, é chamado de modelo caixa branca, mas ele não descreve a dinâmica, isto é, o tempo que a perturbação e a válvula levam para afetar a saída.

Passo 2: o modelo dinâmico da perturbação pela resposta ao degrau

Em uma planta real, nem sempre se conhecem todos os parâmetros físicos. Nesse caso, a função de transferência da perturbação $G_2(s)$ pode ser obtida pela resposta ao degrau da perturbação, o que dá origem a um modelo caixa cinza: a estrutura do modelo é escolhida com base no conhecimento físico (aqui, um sistema de primeira ordem com atraso de transporte), e os parâmetros são estimados a partir de dados medidos. O procedimento é o seguinte. Primeiro, deixa-se o processo em malha aberta em estado estacionário, com a válvula fixa. Depois, aplica-se um degrau de amplitude $\Delta t_e$ na perturbação (por exemplo, uma queda de 8 °C na temperatura de entrada) e registra-se a temperatura de saída ao longo do tempo. Por fim, ajusta-se um modelo de primeira ordem com atraso de transporte:

Os três parâmetros têm significado direto na curva de resposta. O ganho $K_2$ é a variação final da saída dividida pela amplitude do degrau, $K_2 = \Delta y_{final}/\Delta t_e$. O atraso puro, ou tempo morto, $\alpha_2$ é o intervalo entre o instante do degrau e o início da resposta da saída. A constante de tempo $\tau_2$ determina a rapidez da resposta depois do atraso: a variação da saída é $\Delta y(t) = K_2\,\Delta t_e\,\left(1 - e^{-(t-\alpha_2)/\tau_2}\right)$ para $t \geq \alpha_2$. Uma forma prática de obter $\alpha_2$ e $\tau_2$ é o método dos dois pontos: anotam-se os instantes $t_{28}$ e $t_{63}$, contados a partir do degrau, em que a saída atinge 28,3% e 63,2% da variação final. Como a resposta de primeira ordem com atraso atinge 63,2% em $\alpha + \tau$ e 28,3% em $\alpha + \tau/3$, resulta:

Passo 3: o modelo do processo pela resposta ao degrau na válvula

O mesmo ensaio é repetido com um degrau no comando da válvula, mantendo a perturbação constante. A resposta é aproximada por um modelo de primeira ordem com atraso de transporte que resume a dinâmica de $G_p(s)$, em que as constantes de tempo do atuador, da parede e do fluido são agrupadas em uma só:

com $K = \Delta y_{final}/\Delta m$ (em °C por % de abertura) e $\tau$ e $\alpha$ calculados pela equação (19) com os dados desse segundo ensaio.

Passo 4: o compensador feedforward

Substituindo os modelos (18) e (20) na equação (16), obtém-se o compensador:

Cada fator tem uma função. O ganho estático $-K_2/K$, em % de abertura por °C de perturbação, define quanto a válvula deve se mover para compensar o efeito final da perturbação. O quociente $(\tau s + 1)/(\tau_2 s + 1)$ é um avanço-atraso (lead-lag): o numerador, de constante $\tau$, acelera a ação porque o processo é mais lento que a perturbação, e o denominador, de constante $\tau_2$, suaviza a ação. O último fator trata do atraso puro, e sua realizabilidade é discutida no passo seguinte.

Passo 5: o compensador é realizável?

A equação (16) pode resultar em um compensador que não se consegue implementar. O caso mais comum ocorre com o atraso puro. Se $\alpha_2 > \alpha$, a perturbação demora mais a chegar à saída do que o comando, e o fator $e^{-(\alpha_2 - \alpha)s}$ é um atraso realizável: o compensador apenas espera esse tempo antes de agir. Se $\alpha_2 < \alpha$, o fator seria um adiantamento no tempo, que exigiria conhecer a perturbação antes de ela ocorrer, e não pode ser implementado. O atraso puro de $G_p(s)$ não pode ser compensado pelo feedforward, porque o comando só chega à saída depois de $\alpha$ segundos, qualquer que seja o instante em que seja aplicado.

Há ainda o caso em que $G_p(s)$ é de fase não mínima, isto é, tem zeros no semiplano direito do plano $s$. Como os zeros de $G_p(s)$ são os polos de $F(s)$ na equação (16), o compensador teria polos instáveis. A solução é contentar-se com um feedforward menos perfeito: suprimem-se do modelo os fatores que representam os zeros do semiplano direito e o atraso puro, usando um modelo aproximado $\bar{G}_p(s)$ no lugar de $G_p(s)$:

A parte suprimida não é compensada pelo feedforward, e o feedback fica responsável por corrigi-la. O exemplo da Atividade prática mostra esse caso: o processo tem $G_p(s) = e^{-s}/(10s+1)$ e a perturbação tem $G_2(s) = 1/(4s+1)$. Suprimindo o atraso de 1 s, $\bar{G}_p(s) = 1/(10s+1)$ e $F(s) = -(10s+1)/(4s+1)$.

Uma verificação interessante é que o ganho estático identificado coincide com o do balanço de energia. Derivando a equação (17) em relação a $t_e$ e usando as definições de (8), resulta

Ou seja, o modelo caixa cinza reproduz o modelo físico no ganho e acrescenta a informação dinâmica que o balanço estático não tem.

Feedforward e controle em cascata

O feedforward é frequentemente confundido com o controle em cascata, que também usa uma medição adicional. A diferença está no que é medido e em como o sinal é usado. Na cascata, mede-se uma variável intermediária do processo, afetada pela perturbação, e fecha-se com ela uma segunda malha de realimentação, mais rápida, dentro da malha principal. Por exemplo, em um tanque aquecido por óleo quente, a pressão do óleo $p_0(t)$ pode variar e alterar a vazão de óleo pela válvula. Se essa dinâmica é bem mais rápida que a da temperatura, uma malha secundária de vazão ou de pressão corrige a perturbação antes que ela chegue à temperatura. No feedforward, mede-se a própria perturbação, não se fecha malha alguma e calcula-se o comando com um modelo. Por isso, o feedforward não se restringe a perturbações rápidas, como a cascata, mas depende de bons modelos $G_2(s)$ e $G_p(s)$. Sem o diagrama de blocos, é fácil confundir as duas estruturas; no diagrama, a presença de uma malha interna caracteriza a cascata, e um caminho que parte da perturbação e chega ao comando, sem retorno, caracteriza o feedforward.

Limitações e robustez

O feedforward tem limitações importantes:

• O feedforward não constitui uma malha de controle: ele não observa a saída e, por isso, não verifica se acertou.
• Ele só corrige perturbações medidas e incluídas no modelo. Uma perturbação não medida, como a incrustação, passa sem compensação.
• Depende da qualidade do modelo, por exemplo, de um valor correto de $c_p$. Um erro de 3% no ganho do compensador deixa um erro em estado estacionário de alguns décimos de grau, que só o feedback consegue eliminar.

Para avaliar a robustez de um projeto, examina-se o comportamento do sistema quando a planta $G_p(s)$ real difere da usada no projeto, por exemplo, com variações de ±10% no ganho e na constante de tempo. Mesmo com esse erro de modelo, a combinação de feedforward e feedback costuma manter a perturbação menor e mais rapidamente eliminada que o feedback sozinho, o que você verificará na Atividade prática. Por tudo isso, na prática, o feedforward é combinado com o feedback.

9. Feedback e feedforward combinados

Cada técnica tem uma limitação que a outra resolve, e por isso são combinadas. Na Figura 2, o comando que chega ao processo é $M(s) = M_c(s) + M_F(s)$, em que $M_c(s) = G_c(s)\,[R(s) - H(s)\,Y(s)]$ é a parcela do controlador de realimentação (no E-101, o PID) e $M_F(s) = F(s)\,T_e(s)$ é a parcela do feedforward. Combinando as relações do diagrama, a saída em malha fechada é:

A equação (24) resume a vantagem da estrutura. O primeiro termo mostra que o feedback faz a saída seguir a referência. No segundo termo, se o compensador for ideal, $F = -G_2/G_p$, o numerador $G_2 + G_p\,F$ se anula e a perturbação medida deixa de afetar a saída. Como o modelo nunca é perfeito, o numerador não é exatamente nulo, e o feedback reduz o efeito do que sobra, dividindo-o por $1 + G_c\,G_p\,H$. Note também que $F(s)$ aparece apenas no numerador. O denominador, que determina a estabilidade, depende só de $G_c$, $G_p$ e $H$: acrescentar o feedforward não altera a estabilidade da malha fechada.

Em estado estacionário, no ponto de operação do simulador, o feedforward fornece a maior parte do comando (cerca de 47%) e o feedback fornece uma correção pequena (cerca de 8%), que corresponde às perdas térmicas que o modelo do feedforward não inclui.

Comparando as quatro estratégias diante das mesmas perturbações, o quadro é o seguinte. Em malha aberta, qualquer perturbação, medida ou não, deixa erro em estado estacionário. Só com feedback, as duas são corrigidas, mas apenas depois que o erro aparece, o que pode ser lento num processo com atrasos. Só com feedforward, as perturbações medidas são tratadas muito bem e logo no início, porém as não medidas, como a incrustação, deixam erro em estado estacionário, e o resultado depende da qualidade do modelo. Com as duas ações combinadas, obtém-se a rapidez do feedforward para o que é medido e a correção do feedback para o restante. Como o feedback corrige apenas a parte residual, o PID pode ser sintonizado de forma mais suave, o que reduz oscilações e esforço do atuador.

10. Implementação em CLP

Da teoria à prática, alguns cuidados tornam o controle utilizável em uma planta real. Um CLP (controlador lógico programável) executa o algoritmo de controle em ciclos de tempo fixos. O transmissor envia um sinal analógico de 4 a 20 mA, que o CLP converte para a unidade de engenharia da variável, por exemplo, para a temperatura:

em que $I$ é a corrente medida, em mA, e $T_{min}$ e $T_{max}$ são os extremos da faixa calibrada do transmissor. O tempo de amostragem do controlador (0,5 s no simulador) deve ser bem menor que a menor constante de tempo relevante da malha. As entradas do feedforward e a derivada do PID são filtradas, porque multiplicações e derivadas amplificam o ruído. Na passagem do modo manual para o automático, usa-se a transferência sem salto (bumpless transfer): o controlador assume o comando atual da válvula, em vez de um valor arbitrário que causaria uma variação brusca. A saída é limitada entre 0 e 100%, e o termo integral é congelado quando a válvula satura (anti-windup). Por fim, alarmes de temperatura alta, temperatura baixa e desvio em relação ao SP completam a proteção, como se vê no sinótico.

11. Roteiro de estudo sugerido

Para estudar este material com proveito, siga uma sequência. Leia as seções 1 a 4 e identifique, no diagrama P&ID do simulador, cada instrumento citado. Em seguida, abra o simulador em malha aberta e use o botão "Ti cai 8 °C", comparando a queda observada com o valor calculado na seção 4. Passe para a estrutura só feedback, repita o degrau e compare o IAE e o desvio máximo, variando o tipo de controlador (P, PI, PD ou PID) e os parâmetros. Na aba "Como funciona o PID", gere o erro e acompanhe a área da integral crescendo. Experimente o modo só feedforward com os degraus e com a incrustação e, por fim, use feedback combinado com feedforward, comparando as quatro estruturas com a mesma sequência de perturbações. Para consolidar, faça a aba "Atividade prática", em que você mesmo obtém o modelo da perturbação, projeta o compensador e compara o desempenho com e sem feedforward.

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12. Glossário e quiz

Fixe os termos e os símbolos principais e, em seguida, teste o que aprendeu.

Quiz